Контрольная по математике . вычисление интегралов в полярных, параметрических и декартовых координатах

Математика
Дифференциальные уравнения
Примеры и задачи
Информатика
Компьютерные сети
Новые возможности Flash
Cопротивление материалов
Теоретическая механика
Электротехника
Лабораторная работа
Изучение цепи переменного тока
Конспект лекций
Методы расчета и анализа
электрических цепей
Переходные процессы
Схемотехника
Графические и аналитические
методы расчета
Ядерная физика
Законы радиоактивного распада
Ядерная и нейтронная физика
Деление и синтез ядер
Курс лекций и задач по физике
Квантовая механика
Техническая термодинамика
Физика электромагнитных
взаимодействий
Энергетика
Атомная энергетика
Опыт эксплуатации реакторов на быстрых нейтронах
Принципы энергетической безопасности
Резервы урана
Программа развития ядерной энергетики
Программа развития АЭС до 2050 г
Гидроэлектростанции
Эволюция ядерных арсеналов
Ядерная индустрия
Реакторы на тепловых нейтрона
Крупные аварии на АЭС
Ядерно-энергетические комплексы
Атомная энергетика в мире
Перспективы развития атомной энергетики
Энергетическая  безопасность
Физические основы ядерной индустрии
Радиоактивность
Бета-излучение
Фотонное излучение
Гамма-излучение
Радиация проникающая
 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми х=0, х=2 и кривыми у=2х , у=2х–х2 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами х = –2у2, х=1–3у2 

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой х2=4у и локоном Аньези : .

Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга и ограниченной параболами  и   

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   и осью Ох.

Найти площадь сегмента, отсекаемого от кривой  хордой . Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой   и прямой .

Вычислить площадь петли кривой .

Найти площадь между параболой , касательной к ней в точке М(2,–5) и осью ординат.

Найти площади фигур, ограниченных окружностью  и параболой  

 

Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы (контура) 

 Если граница фигуры задана параметрическими  уравнениями  ,  ,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул

: где  и  - значения параметра , соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом  

Найти площадь астроиды

Найти площадь фигуры, ограниченной одной  аркой циклоиды   и осью

Найти площадь астроиды  

Р е ш е н и е. Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде . Здесь тоже удобно вычислить сначала.  Отсюда 

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды  и осью .

 Р е ш е н и е. Здесь граница фигуры  состоит из дуги циклоиды  и отрезка  оси  . Применим формулу . Так как на отрезке оси  имеем  то остается вычислить интеграл (с учетом направления обхода  границы):

Вычислить  площадь фигуры, ограниченной кривой .

Найти площадь петли кривой: ; 

Вычислить площадь, содержащуюся  внутри кардиоиды:  ;  

 

Площадь в полярных координатах 

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой  и лучами   и , выражается интегралом  

Пример 1 Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и .

Найти площадь фигуры, лежащей  вне круга  и огра­ниченной кривой        

Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и .       

Найти  площадь фигуры, вырезаемой окружностью   из кардиоиды  (рис.3.4).

Найти площадь петли декартова листа .        

 

Вычисление объема тела

Объем тела выражается интегралом .где  - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке с абсциссой х , а н b - левая и правая границы изменения х. Функция S(x) предполагается известной и непрерывно меняющейся при изменении х от a до b.Объем  тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми   и , выражается интеграломОбъем  тела  образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми  и   и прямыми ,  выра­жается интегралом .Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменной в указанных формулах.

Определить объем эллипсоида  

Оси двух одинаковых цилиндров с радиусами основания равными  , пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть этих двух цилиндров.

На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскости сегментов перпендикулярны к плоскости круга.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями координат

Фигура, ограниченная дугой синусоиды , осью ординат и прямой , вращается вокруг оси Оу . Определить объем V получающегося тела вращения.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой  и прямой 

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами  и

Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой  фигуры, ограниченной параболой  и прямой   

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной  астроидой: ;

Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси. 

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах 

Если плоская кривая задана уравнением  и производная  непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом:.где а и b — абсциссы концов данной дуги. 

Вычислить длину дуги полукубической параболы заключенной между точками (0, 0) и (4, 8) 

Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами

Вычислить длину дуги кривой , заключен­ной между точками с ординатами  и .

Вычислить длину дуги астроиды

Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых  и  

Вычисление длин дуг кривых, заданных  параметрически 

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме ,  и производные ,  непрерывны на отрезке [] , то длина дуги кривой выражается интегралом.где  и — значения параметра , соответствующие концам дуги (<). 

Вычислить длину дуги развертки круга ,  от  до 

Вычислить длину астроиды:,

.Вычислить длину дуги эллипса

Математика, физика, электротехника. Графика и анимация для Web-сайтов