Примеры решения задач по математике Информатика Электротехника Энергетика Решение задач по ядерной физике Курс лекций и задач по физике Cопротивление материалов

Математика лекции и примеры решения задач

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

  f(x)>f(x0).

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

 f(x)<f(x0).

src="ris

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Сформулируем теорему о необходимом условии экстремума функции: если в точке экстремума функция f(x) имеет производную, то производная равна нулю.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или не существует.

Если f¢(x0)=0, это еще не значит, что в точке x0 есть экстремум. Примером может служить функция y=x3. В точке x=0 её производная равна нулю, но экстремума функция не имеет. График функции изображен на рисунке 3.

Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Как было показано выше, с помощью необходимого условия нельзя определить, является ли данная точка точкой экстремума, тем более указать, какой экстремум реализуется–максимум или минимум. Для того, чтобы отве­тить на эти вопросы, сформулируем и докажем теорему, которая называется достаточным условием экстремума.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда:

1) если f¢(x)<0 на (a;x0) и f¢(x)>0 на (x0;b), то точка x0 – точка минимума функции f(x);

2) если f¢(x)>0 на (a;x0) и f¢(x)<0 на (x0;b), то точка x0 – точка максимума функции f(x);

Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f¢(x)<0 на (a;x0) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) убывает на (a;x0], и для любого xÎ(a;x0) выполняется условие f(x)>f(x0).

Так как f¢(x)>0 на (x0;b) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) возрастает на (x0;b], и для любого xÎ(x0;b) выполняется условие f(x)>f(x0).

В результате получается, что при любом x¹x0 из (a;b) выполняется нера­венство f(x)>f(x0), то есть точка x0 – точка минимума f(x).

Выпуклость и вогнутость функции Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Рассмотрим пример из микроэкономики. В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

При изучении этой темы вы познакомитесь с понятиями частной производной, производной по направлению, градиента, их геометрической и физической интерпретацией и научитесь их вычислять; изучите необходимое и достаточное условия дифференцируемости и их отличие от условий дифференцируемости функции одной переменной.
Математика примеры решения задач