Классическая физика Гидродинамика Термодинамика Кристаллические структуры Электростатика Электротехника


Физика в решение задач

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени Dt зададим углом D. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются  или ). Модуль вектора  равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор  направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор  (рис.7). Размерность угловой скорости dim w=T–1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

т. е.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к R.

Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = T соответствует  = 2p, то   = 2p/T, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор  сонаправлен вектору  (рис.8), при замедленном — противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

 

где w0 — начальная угловая скорость.

Задачи

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s=A+Bt+Ct2+Dt3 (С=0,1 м/с2, D=0,03 м/с3). Определить: 1) время после начала движения, через которое ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение áаñ тела за этот промежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3. Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением w = 2At + 5Bt4 (A = 2 рад/с2 и B = 1 рад/с5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. [а=8,5 м/с2; N=0,48]

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r=4 м, задается уравнением an=A+Bt+Ct2 (А=1 м/с2, B=6 м/с3, С=3 м/с4). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1= 5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2=1 с. [1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]

1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин–1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с2; 2) 240]

1.6. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j=A+Bt+Ct2+Dt3 (B=1 рад/с, С=1 рад/с2, D=1 рад/с3). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]

Чаще всего дается следующий ответ: данные тела имеют различные свойства и этим принципиально отличаются. Естественно, что такой ответ неверен. В полном соответствии с механикой он исходит из независимости свойств друг от друга и из возможности существования у разных тел различных свойств.

Диалектическое единство материальных тел предполагает наличие у всех тел бесконечного набора одних и тех же рядовых взаимозависимых свойств, которые во взаимосвязи и образуют тела. Различие же тел заключается в том, что каждое из составляющих его свойств имеет свою количественную величину, и инвариантная взаимосвязь одинаковых свойств одного тела всегда количественно отличается от аналогичной взаимосвязи свойств другого тела. И это отличие имеет принципиальный характер для понимания сущности физических явлений.

Теперь положим кусочек мела на стол и зададимся вопросом: движется ли мел относительно стола? В ответ на этот вопрос удивительное единство проявляют столь разнородные направления науки, как классическая механика, идеалистическая и материалистическая философии. Они отвечают: нет. Мел относительно стола неподвижен.

Если для классической механики и идеалистической философии этот ответ естествен, то для материалистической философии он просто нелеп. Ответив «нет» и загнав себя в угол противоречием данного ответа основному положению диалектики о движении как форме бытия материи (иначе — материя без движения не существует), материалисты-философы, выкручиваясь из неприятного положения, продолжают: Но!! Ведь стол находится на Земле, а Земля вместе с ним и с мелом, вращаясь, движется по орбите вокруг Солнца, а Солнце, в свою очередь, движется и т.д.

Вот это «но» и фиксирует принципиальное отступление материалистов от диалектики и непонимание этого отступления. Уже одно «но» подчеркивает, что в данном конкретном случае происходит подмена материальной системы — «мел» — другой системой «Земля». А в результате подмены мел, не обладая свойством самодвижения, становится по определению невещественным, нематериаль-ным. Что само по себе абсурд.

Это как раз тот случай, когда, не имея возможности обнаружить движение тела (в данном случае мела) относительно стола и зная, что диалектика предписывает такое движение всем телам, материалист может утверждать, что «да, я не вижу, движется мел относительно стола или нет. Но согласно законам диалектики он должен относительно него двигаться. И придет время, когда способ, посредством которого происходит это движение, будет найден.

Это как раз тот случай, когда диалектика подсказывает физике направление поиска определенного свойства, которым обладают все без исключения тела — свойства самодвижения. А конкретное выражение это самодвижение (как подробнее будет показано ниже) находит в собственной пульсации каждого вещественного тела в зависимости от его фиксируемых свойств, структуры и размеров. И параметры пульсации определяются именно свойствами, структурой и размерами тел.

Поэтому самопульсирующий мел, находящийся на поверхности пульсирующего стола, будет всегда двигаться относительно самого стола и относительно пространства, в котором он находится. Причем период пульсации мела отличается от периода пульсации стола, и, следовательно, это движение будет непрерывным.

Вопрос о периоде и амплитуде пульсации, как и об изменении количественной величины других свойств обоих тел, не является принципиальным ни для физики, ни для философии. Принципиальным является то, что все вещественные тела как относительно самостоятельные физические системы обладают свойством самодвижения — пульсацией, и игнорирование этого свойства в механике, как и в любой физической теории, невозможно.

Самодвижение тел и есть то свойство, которое обусловливает все виды взаимодействия и движения тел, включая перемещение их относительно пространства, других тел и вращения. Вынужденное провозглашение Ньютоном неявного постулата о самонеподвижности тел и инертного вещественного эфирного пространства привело к тому, что механическое движение тел, их перемещение в пространстве, оказалось, невозможно привязать ни к эфиру, ни к пространству, поскольку движущиеся тела не взаимодействовали с ними и оставались тождественными своему состоянию в покое. Именно эта самотождественность самонеподвижных тел в состоянии покоя и в движении привели Ньютона к необходимости искусственным путем, иначе волевым порядком, определять, указывая пальцем, какие тела в пространстве являются истинно покоящимися, а какие — движущимися относительно истинно покоящихся. Естественно, что другой указующий перст может превратить движущиеся тела в неподвижные, а «истинно неподвижные» в движущиеся. Это очень наглядно продемонстрировал А. Эйнштейн в теории относительности введением равнозначности движущихся и неподвижных систем отсчета. Отсутствие в классической механике представления о возможности фиксации неподвижности или движения тел в пространстве и является основой принципа относительности, принципа, отсутствующего в природе, но, тем не менее, занимающего положение станового хребта в современных физических теориях, формализующих процессы взаимодействия и движения тел.

Признание самодвижения тел, а, следовательно, и вещественности пространства, в котором эти тела находятся, несовместимо с принципом относительности уже потому, что предполагает взаимосвязь и взаимодействие любого самоподвижного тела с окружающим его пространством. Поэтому всякое изменение положения этого тела в пространстве, движение его относительно пространства будет сопровождаться изменением форм взаимодействия с пространством, а вместе с ним и собственного самодвижения тела. Период собственной пульсации тела в движении будет отличаться от того периода пульсации, которое оно имеет, когда находится в относительном покое (относительный покой — отсутствие пространственного перемещения тела или перемещения тела относительно других тел, принимаемых за истинно покоящиеся по Ньютону). И говорить о какой бы то ни было самотождественности пульсирующих тел в состоянии покоя и в состоянии движения не приходится. Тело покоящееся всегда качественно отличается от тела движущегося. Поэтому всякое движение тела в пространстве является абсолютным движением взаимодействия движущегося тела с окружающим вещественным пространством.

Таким образом, сущностью движения является свойство постоянного самопульсирования всех тел. Именно оно становится основой всякого перемещения и вращения, а поскольку, как уже говорилось, в процессе перемещения тела в пространстве период его самопульсации изменяется, то изменяются и его взаимодействие с пространством, что обусловливает невозможность равномерного прямолинейного движения с постоянной скоростью, так же как и движение по инерции. И отсюда тоже следует вывод об отсутствии в природе относительного движения.

Физика — наука о наиболее простых и вместе с тем наиболее общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, тепловая и др.) присутствуют во всех высших и более сложных формах движения материи (химических, биологических и др.). Поэтому они, будучи наиболее простыми, являются в то же время наиболее общими формами движения материи. Высшие и более сложные формы движения материи — предмет изучения других наук (химии, биологии и др.).

Механика — часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.

Скорость Для характеристики  движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела Первый закон Ньютона. Масса. Сила Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Третий закон Ньютона Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки

Закон сохранения импульса. Центр масс Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются — внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Уравнение движения тела переменной массы Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Работа и энергия Энергия, работа, мощность Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той иди иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711—1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821—1894).

Графическом представление энергии Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т. е. П=П (х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Удар абсолютно упругих и неупругих тел Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел. Удар (или соударение)—это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Помимо ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров) сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения

Механика твердого тела Момент инерции При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси


Ядерная физика