Классическая физика Электростатика Электротехника Переменный ток Оптика Элементы квантовой механики Физика атомов и молекул Полупроводники Ядерная физика

 


Физика в решение задач

Элементы современной физики атомов и молекул

Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+, двукратно ионизованного лития Li++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),

  (223.1)

где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 302. U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):

  (223.2)

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (223.2) обычно используют сферическую систему координат: r, q, j. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции y, только при собственных значениях энергии

  (223.3)

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. § 220) и гармонического осциллятора (см. § 222), решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е1, E2, Е3,... показаны на рис. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е1, отвечающий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (Еn >Е1, n = 2, 3, ...) — возбужденные (см. § 212). При Е<0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n=¥ E¥ = 0. При Е>0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е>0 (заштрихована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

Выражение (223.3) совпадает с формулой (212.3), полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным тl.

Главное квантовое число n, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

  (223.4)

где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения

 (223.5)

т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор Ll момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Llx на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ћ:

 (223.6)

где тl — магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

  (223.7)

т. е. всего 2l+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации.

Наличие квантового числа ml должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом п на 2l+1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П. Зееманом (1865—1945) и получило название эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эффектом Штарка*.

* И. Штарк (1874—1957) — немецкий физик.

Хотя энергия электрона (223.3) и зависит только от главного квантового числа п, но каждому собственному значению Еn (кроме Е1) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями l и ml. Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном п орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до п–1 (см. (223.5)), а каждому значению l соответствует 2l+1 различных значений ml (223.7), то число различных состояний, соответствующих данному п, равно

  (223.8)

Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию y. Кроме того, так как при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электрона, то квантовая механика вообще отказывается от классического представления об электронных орбитах. Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа п и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число ml характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами l=0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном), l=1 — p-состоянием, l=2 — d-состоянием, l=3 — f-состоянием и т. д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях n=2 и l=0 и 1 обозначаются соответственно символами 2s и 2р.

На рис. 303 для примера приведено распределение электронной плотности (формы электронного облака) для состояний атома водорода при n=1 и п=2, определяемое ||2. Как видно из рисунка, оно зависит от n, l и ml. Так, при l=0 электронная плотность отлична от нуля в центре и не зависит от направления (сферически-симметрична), а для остальных состояний в центре равна нулю и зависит от направления.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и ml позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора (см. рис. 294).

В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Теоретически доказано и экспериментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие переходы, для которых: 1) изменение орбитального квантового числа Dl удовлетворяет условию

  (223.9)

2) изменение магнитного квантового числа Dml удовлетворяет условию

В оптических спектрах указанные правила отбора в основном выполняются. Однако в принципе могут наблюдаться и слабые «запрещенные» линии, например возникающие при переходах с Dl = 2. Появление этих линий объясняется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает переходы, соответствующие излучению более сложных систем зарядов, например квадруполей. Вероятность же квадрупольных переходов (переходы с Dl=2) во много раз меньше вероятности дипольных переходов, поэтому «запрещенные» линии и являются слабыми.

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора (223.9), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 304): серии Лаймана соответствуют переходы

серии Бальмера —

и т. д.

Переход электрона из основного состояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам 1s®np (n = 2, 3, ...), что находится в полном согласии с опытом.

Пример 4. Человек массой 70 кг поднимается в лифте, движущемся равнозамедленно вертикально вверх с ускорением 1 м/с2. Определить силу давления человека на пол кабины лифта.

Решение. На человека, находящегося в кабине лифта, действуют: mg – сила тяжести и N – сила реакции пола кабины (рис.5).

Ускорение движения лифта направлено вертикально вниз. Запишем для человека уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

 Рис. 5 N+mg=ma. (1)

Проведем ось Y в направлении движения лифта и, находя проекции сил на ось, напишем уравнение (1) в скалярной форме:

 N-mg = - ma, (1)

откуда

;

N=70(9,8-1)=616 Н.

На основании третьего закона Ньютона сила давления F человека на пол кабины равна по модулю силе реакции N пола кабины: F=N=616 Н.

Пример 5. Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с, разорвалось на два осколка массами 10 кг и 5 кг. Скорость меньшего осколка равна 90 м/с и направлена вертикально вверх. Определить модуль и направление скорости большего осколка.

Решение. Система «ядро – осколки» не замкнута вследствие действия силы тяжести. Однако задача может быть решена на основании закона сохранения импульса, так как время разрыва мало.

Изобразим на чертеже (рис.6) векторы импульсов тел системы непосредственно перед и после разрыва. Запишем закон сохранения импульса в векторной форме: υ=m1υ1+m2υ2. Ось х направим горизонтально, ось у – вертикально, угол между вектором mυ1 и осью х обозначим . Проецируем векторные величины на оси х и у:

Рис. 6

Решив систему уравнений, получим:

м/с;

; к горизонту.

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

1s-Состояние электрона в атоме водорода

Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства — массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

Периодическая система элементов Менделеева Принцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения электронных состояний в атомах, позволяет объяснить Периодическую систему элементов Д. И. Менделеева (1869) — фундаментального закона природы, являющегося основой современной химии, атомной и ядерной физики.

Молекулы: химические связи, понятие об энергетических уровнях Молекула — наименьшая частица вещества, состоящая из одинаковых или различных атомов, соединенных между собой химическими связями, и являющаяся носителем его основных химических и физических свойств. Химические связи обусловлены взаимодействием внешних, валентных электронов атомов. Наиболее часто в молекулах встречается два типа связи: ионная и ковалентная

Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучения Как отмечалось выше, атомы могут находиться лишь в квантовых состояниях с дискретными значениями энергии Е1, Е2, Е3, ... Ради простоты рассмотрим только два из этих состояний (1 и 2) с энергиями Е1 и Е2. Если атом находится в основном состоянии 1, то под действием внешнего излучения может осуществиться вынужденный переход в возбужденное состояние 2, приводящий к поглощению излучения. Вероятность подобных переходов пропорциональна плотности излучения, вызывающего эти переходы.

Элементы квантовой статистики Квантовая статистика — раздал статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

Вырожденный электронный газ в металлах Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Выводы квантовой теории электропроводности металлов Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака, — пересмотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

Элементы физики твердого тела Понятие о зонной теории твердых тел Используя уравнение Шредингера — основное уравнение динамики в нерелятивистской квантовой механике, — в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.


Физика примеры решения задач