Интегралы вычисление площади и обьема Примеры и задачи Исследовать на локальный экстремум Интегрирование функций нескольких переменных Площадь части криволинейной поверхности Вычисление интеграла


ПРИМЕР 2. Зададим область  примера 1, проектируя ее на ось ,  Вычислить повторный интеграл .

Решение.

.

Замечаем, что значения различных повторных интегралов
функции по области оказались равными.

Доказано (см. [1]) утверждение:

если   непрерывна на , ; область  является
правильной в направлении осей координат, то значение двойного интеграла  совпадает со значением соответствующего повторного интеграла, причем результат не зависит от порядка
интегрирования, т.е.

.

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть на плоскости  задана область , заданы функции  отображающие область  в область  на плоскости  (см. рисунок), причем точке  соответствует точка , частичные прямоугольники в  отображаются в криволинейные
четырехугольники в плоскости .

Предположим, что преобразование  является непрерывным, дифференцируемым и взаимно обратным. Тогда можно найти функции  определяющие обратное преобразование области  в область , которые являются также непрерывными и дифференцируемыми, если не обращается в ноль определитель Якоби (якобиан) , причем абсолютная величина якобиана  задает коэффициент
искажения преобразования  и .

Поэтому при замене переменных  с указанными свойствами в двойном интеграле следует применять формулу

.

Например, для перехода к полярным координатам  якобиан , и поэтому при переходе к полярным координатам в двойном интеграле имеем

,

здесь  – образ области   рассматривается в полярных координатах.

Итак, для вычисления двойного интеграла нужно задать
область интегрирования неравенствами и перейти к повторному интегралу.

Основные правила дифференцирования. Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+Dx нам удобно будет представлять в виде у(х+Dx)= у(х)+ Dу= у(х)+ у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0, следующим из определения для приращения функции: Dу = у(х+Dx)- у(x).
Вычисление криволинейных интегралов