Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Механические приложения

ПРИМЕР 5. Вычислить массу дуги   
при   – линейной плотности распределения массы по
дуге .

Решение.

.

ПРИМЕР 6. Найти центр тяжести одной арки циклоиды

считая дугу однородной, т.е.  на дуге.

Решение. Циклоида – траектория неподвижной точки окружности, "катящейся" без скольжения по прямой (оси );
в начальный момент времени точка находится в начале координат (см. рисунок).
Поскольку дуга однородная, можно воспользоваться симметрией дуги, тогда

.

Длина арки циклоиды

.

Вычисляем статистический момент дуги относительно оси  :

.

Итак, центр тяжести одной арки циклоиды находится в точке .

Замечаем, что действительно центр тяжести дуги не обязательно расположен на самой дуге.

Формула для приращения функции, имеющей производную. Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.
Интегрирование функций нескольких переменных