Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл
Формула для приращения функции, имеющей производную. Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.Вычисление интеграла ФНП.
Типовые задачи
ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл
, где
– шаровое кольцо
.
Решение. Переходим к сферическим координатам
.
Заметим, что эта задача может иллюстрировать нахождение массы шарового кольца с заданной функцией плотности распределения массы в нем.
Типовые задачи
1) Вычисление тройных интегралов (см. примеры 1 – 3).
2) Объем тела
;
среднее значение функции
на теле
.
ПРИМЕР 4. Найти среднее значение функции
на фигуре, ограниченной поверхностями
и
.
Решение. Среднее значение функции находим по формуле
,
где
– объем тела.
Сначала вычислим объем фигуры; она ограничена снизу конусом
и сверху – сферой
; проекция на плоскость
есть круг
. Поэтому объем фигуры
равен значению тройного интеграла
.
Затем вычислим
и
.
3) Механические приложения тройного интеграла (см. пример 3).
ПРИМЕР 5. Найти центр тяжести – точку
– цилиндра
:
если плотность
распределения массы в каждой его точке равна квадрату расстояния от точки до плоскости
.
Решение. В силу симметрии тела и функции
имеем
,
,
, где
– масса тела.
Находим ее:
(считаем в цилиндрических
координатах).Поскольку статический момент
,
то
.
Итак,
.