Вычисление интеграла ФНП.
Типовые задачи
ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл 
, где 
– шаровое кольцо 
.
Решение. Переходим к сферическим координатам
.
Заметим, что эта задача может иллюстрировать нахождение массы шарового кольца с заданной функцией плотности распределения массы в нем.
Типовые задачи
1) Вычисление тройных интегралов (см. примеры 1 – 3).
2) Объем тела 
;
среднее значение функции 
на теле .
ПРИМЕР 4. Найти среднее значение функции 
на фигуре, ограниченной поверхностями 
и 
.
Решение. Среднее значение функции находим по формуле
,
где
– объем тела.
Сначала
вычислим объем фигуры; она ограничена снизу конусом и сверху – сферой 
; проекция на плоскость 
есть круг 
. Поэтому объем фигуры
равен значению тройного
интеграла
.
Затем
вычислим 
и 
.
3) Механические приложения тройного интеграла (см. пример 3).
ПРИМЕР 5. Найти центр тяжести – точку
– цилиндра : 
если плотность 
распределения массы в каждой его точке равна квадрату
расстояния от точки до плоскости 
.
Решение. В силу симметрии тела и функции 
имеем 
, 
, 
, где 
– масса тела.
Находим ее: 
(считаем в цилиндрических
координатах).
Поскольку статический момент
,
то
.
Итак, 
.