Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Решение. Спроектируем  на плоскость , получим  и .

Поэтому

.

Замена переменных в тройном интеграла может быть проведена по правилу:

пусть функции , ,  реализуют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение замкнутой области  пространства  на замкнутую область  пространства .
Тогда (см. [1, 6]) справедлива формула

,

где   – якобиан преобразования.

В цилиндрической системе координат  
(,  – полярные координаты), , , ,
и поэтому

.

ПРИМЕР 2. Записать тройной интеграл от функции  на
области , ограниченной поверхностями  и .

Решение. Поверхности – парабалоиды вращения, пересекаются по окружности   Проводить счет удобно в цилиндрической системе координат

.

В сферической системе координат   – длина радиуса вектора точки , ;
  – угол между положительной полуосью   и радиусом–вектором точки , ;  – полярный угол .

Якобиан перехода равен , и поэтому для вычисления тройного интеграла в сферической системе координат нужно задать область интегрирования  в пространстве сферических координат, записать подынтегральную функцию через переменные ,  и , умножить ее на  и провести вычисление повторного интеграла.

Формула для приращения функции, имеющей производную. Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.
Интегрирование функций нескольких переменных