Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

Вычисление площади криволинейной поверхности

ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Решение. Цилиндр  "вырезает" из сферы две части:  – соответственно для  и  – для ; они
равновелики.

Воспользуемся формулой , где  – проекция поверхности  на плоскость ; ;  для , т.е. . Проведем счет в полярных координатах.
В силу симметрии поверхности  ее площадь , где

.

Площадь частей сферы внутри цилиндра

.

7.7.5. Вычисление тройных интегралов проводим для специального вида областей интегрирования – правильных в направлении одной из осей координат.

Так, например, область ,  называется правильной в направлении оси , если всякая параллельная оси  прямая
пересекает границу области  не более чем в двух точках. В этом случае область  ограничена снизу и сверху поверхностями  и  соответственно, а "с боков" – возможно цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и
направляющей – границей области  – проекцией тела  на плоскость  (см. рисунок). Вычисление тройного интеграла в рассматриваемом случае проводится по формуле

,

при этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной ( и  предполагаются неизменяющимися) как определенный
интеграл, а затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции от  и  по области .

Аналогично формулируются правила вычисления тройного интеграла по области, правильной в направлении оси  и соответственно правильной в направлении оси .

Если область , , не является правильной в направлении какой-либо оси, то ее разбивают на части, каждая из которых правильная в направлении какой-либо оси, и проводят счет.

Формула для приращения функции, имеющей производную. Непрерывность функции, имеющей производную. Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.
Интегрирование функций нескольких переменных