Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Вычисление интеграла ФНП.

Типовые задачи

ПРИМЕР . Вычислить интеграл .

Решение. Введем замену переменной , где , ; ; ;  на ; , .

Получаем

.

2) Среднее значение интеграла, оценка интеграла

ПРИМЕР 3. Для криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми  и , кривой , найти равновеликий прямоугольник с основанием  на .

Решение. Высотой такого прямоугольника является отрезок длиной

.

ПРИМЕР 4. Оценить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция  – убывающая на , поскольку  на . Поэтому  и . Точное значение интеграла можно найти, но вычисления сопровождаются громоздким счетом:

  или .

Откуда

.

Видим, что полученная оценка интеграла является грубой,
поскольку промежуток интегрирования  "достаточно велик".

Геометрический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику гладкой функции.

 Геометрический смысл производной у'(x0), как следует из вышеизложенного, - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,y0=f(x0)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции |x| в точке (0,0). Чтобы в точке (x0,y0=f(x0)) существовала касательная, необходимо существование предела , т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения


Интегрирование функций нескольких переменных