Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Функция нескольких переменных

ПРИМЕР Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства этого множества.

Решение. , т.е. . Геометрически это множество представляется точками, заполняющими вертикальный угол между прямыми  и , точка  должна быть выброшена.

Свойства множества :

1)   – не открытое множество, так как можно указать точку, например, , которая принадлежит множеству, но не является его внутренней точкой;

2)   – не связное множество, так как не всякие две его точки
можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек множества , например точки  и ;

3)   – неограниченное множество, так как , ;

4)   – незамкнутое множество, так как оно не содержит все свои предельные точки, например точка  – предельная точка для , но .

ПРИМЕР 5. Для функции  представить в пространстве переменных  множество точек ее существования; указать свойства этого множества.

Решение. .

Множество  состоит из всех точек шара (без границы – сферы)
с радиусом 1 и центром в начале координат.

Свойства :  – открытое, связное, ограниченное,
не замкнутое множество.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти и построить множество точек определения функции:

а) ;  б) .

Указать свойства этих множеств.

2. Построить схематично график функции  на
множестве .

3. Построить график функции  на области ее определения.

Ответы. 1. а) точки полосы  выше и на прямой ; множество не открытое, связное, не ограниченное, не замкнутое;

  б) все точки шара с центром в  с радиусом ; множество не открытое, связное, ограниченное, замкнутое.

Свойства множеств следует не только перечислить, но и обосновать.

2.   – параболоид вращения, вершина на оси  в точке , расположен ниже плоскости ; ось симметрии – ось . Над кругом  "вырезается" криволинейная часть параболоида.

3.  – нижняя часть () конической
поверхности с осью симметрии – прямой  и вершиной .

Вычисление скорости неравномерно движущегося тела. Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту времени t от времени, требуется найти значение скорости точки в момент t0. Если мы возьмём любое t1¹ t0 и найдём отношение  ,  то будет получено среднее значение  скорости на отрезке [t0, t1]. Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t0, мы должны устремить t1 к t0, т.е. найти предел , где Dt= t1- t0, Ds= s(t1)- s(t0).
Интегрирование функций нескольких переменных