Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Некоторые свойства интеграла ФНП

1. Если   на , то интеграл  равен значению
меры фигуры , т.е. , например,  длине дуги ;  объему тела и т.д.

2. Вычисление интеграла функции является линейной операцией, т.е. , , , ,

;

предполагается существование всех встречающихся здесь интегралов. Свойство линейности объединяет свойства: однородность и
аддитивность по функции.

3. Аддитивность по множеству интегрирования:

если   – интегрируема на  и фигура  разбита на две фигуры  и  так, что  и  – фигура меньшей размерности, то

.

Например,

,

где . Заметим, что для определенного интеграла написанное равенство верно и для ; предполагается существование
входящих интегралов.

4. Сравнение интегралов:

если    и обе функции интегрируемы на ,
то .

Частные случаи. 1) Оценка интеграла: если существуют числа  и  такие, что  , то .

2) Для любой интегрируемой функции  на  имеет место неравенство

.

3) Выражение  называется средним значением интегрируемой функции , , на множестве .

Среднее значение на множестве  непрерывной на  функции ,  равно ее значению в некоторой точке  фигуры .

В самом деле, если  – ограниченное связное замкнутое
множество; ,  – непрерывная на  функция, то можно взять , . Тогда из неравенства  по свойствам непрерывной функции имеем

(промежуточное значение между  и  достигается в некоторой точке на ).

Итак, среднее значение непрерывной на  функции  
достигается в некоторой точке на .

Например, среднее значение  на , равное , достигается в точке , поскольку  и

.

Определение производной.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.


Интегрирование функций нескольких переменных