Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Интегрирование функций нескольких переменных

В зависимости от числа независимых переменных функции, размерности и меры фигуры интеграл  имеет различное представление, интерпретацию и способ счета.

Пусть  – функция одной переменной, , т.е. фигура  есть отрезок. Процедура построения интеграла , называемого определенным интегралом
функции   на , представится в следующем виде.

1. Разбиение  проводится системой произвольно взятых точек , где , ,  и состоит из частичных отрезков , ; причем каждые два
соседних отрезка имеют лишь одну общую точку (мера множества, состоящего из одной точки, равна нулю). Диаметр разбиения  есть , где , .

2. На каждом частичном отрезке , ,
произвольно выбирается точка , ; ;
вычисляется значение функции .

3. Составляем интегральную сумму  функции  на  соответственно произвольному разбиению  и произвольно выбранной системе выбора точек .

Если   на , то построенной интегральной сумме соответствует, например, площадь ступенчатой "трапеции" с основанием  и графиком кусочно-постоянной функции – границей сверху (см. рисунок).

Очевидно, что с изменением разбиения  и системы точек  эта "трапеция" изменится и ее площадь также.

Если существует , не зависящий от  и , то значение этого предела называется определенным интегралом функции  на отрезке   и обозначается .

Функция   называется интегрируемой (по Риману) на , что иногда записывают в виде .

При   на  число  соответствует значению площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми  и , отрезком  на оси , графиком , .

Аналогично расшифровывается определение интеграла  в других случаях функции  и множества  
(см. таблицу).

название

Отрезок

определенный

интеграл

Дуга

точки на дуге

криволинейный

интеграл
по длине дуги (1го рода)

Область на плоскости

,

;

или

двойной интеграл

Часть поверхности

;

или

поверхност-ный

интеграл по площади поверхности (1го рода)

Тело разбиваем

плоскостями

,,

на элементарные тела – параллелепипеды

или

тройной интеграл

Определение производной.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.


Интегрирование функций нескольких переменных