Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Абсолютный экстремум ФНП

Допустимая точка  называется точкой абсолютного минимума (или максимума) ФНП ,  в задаче (*), если
выполняется условие:    или  . При этом можно записывать

  или .

Задача абсолютного экстремума для ФНП формулируется аналогично этой задаче для функции одной переменной:

найти  и ,

если  – непрерывна на ,  – связная ограниченная замкнутая область.

Алгоритм решения задачи абсолютного экстремума:

1) найти все внутренние допустимые точки, "подозрительные" на
локальный экстремум;

2) найти допустимые точки, "подозрительные" на экстремум на
границе   множества ;

3) присоединить точки "стыка" границы ;

4) во всех выделенных точках  вычислить значения функции ; выбрать наименьшее число (или  и наибольшее
число (или ).

Сформулированная задача абсолютного экстремума всегда имеет решение. Это следует из теоремы Вейерштрасса:

если функция  – непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то она достигает на множестве   значений
абсолютных минимума и максимума множества .

ПРИМЕР. ,

   (см. рисунок).

Решение. 1) , . Точка  
лежит внутри области .

2) на отрезке  , , имеем ,  при . Точку  фиксируем для дальнейших рассуждений

На отрезке  , , имеем

  или ;  при , поэтому точку  также отбираем.

На отрезке  , , имеем  – не имеет точек экстремума на ;

3) точки "стыка" , ,  границы ;

4) вычисляем значение функции в отобранных точках , , получаем конечное множество чисел

.

Отсюда , .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. , .

2. ,

.

Ответы. 1. ;

;

.

2. ; .

Определение производной.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.


Интегрирование функций нескольких переменных