Дифференциальные уравнения Типовые задачи Вычислить интеграл Вычисление объема тела Вычисление криволинейных интегралов Длина дуги в декартовых координатах Вычислить повторный интеграл


Дифференцируемость ФНП

Пусть   определена в .

ФНП   называется дифференцируемой в точке , если выполнены соотношения

,

где  – приращение вектора аргументов;  – полное приращение функции  в точке  соответственно ; .

ПРИМЕР 1. Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке .

Решение. Обозначим , , . Для произвольного  
приращение функции имеет вид 

.

Здесь вектор , функция , причем

, где ,  – соответственно углы между вектором  и осями координат .

ФНП , заданная на области , называется дифференцируемой на множестве , если она дифференцируемая в каждой точке этого множества.


Связь понятий "существование частных производных", "непрерывность" и "дифференцируемость" в точке для ФНП иная, чем для функции одной переменной, и может быть изображена в виде
следующей схемы

Рассмотрим соответствующие утверждения, предполагая , , где  – область; .

ТЕОРЕМА (о непрерывности дифференцируемой ФНП)

Если  – дифференцируемая в точке   ФНП, то она
непрерывна в точке .

Доказательство. По определению дифференцируемости ФНП в точке имеем , где .

При , т.е. при , имеем , т.е. , что подтверждает непрерывность ФНП  в точке .

Обратное утверждение неверно для ФНП, поскольку оно неверно для функции одной переменной.

Контрпример: , .

Вычисление скорости неравномерно движущегося тела. Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту времени t от времени, требуется найти значение скорости точки в момент t0. Если мы возьмём любое t1¹ t0 и найдём отношение  ,  то будет получено среднее значение  скорости на отрезке [t0, t1]. Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t0, мы должны устремить t1 к t0, т.е. найти предел , где Dt= t1- t0, Ds= s(t1)- s(t0).
Интегрирование функций нескольких переменных