Дифференциальные уравнения вычисление площади и обьема

Математика
Дифференциальные уравнения
Примеры и задачи
Информатика
Компьютерные сети
Новые возможности Flash
Cопротивление материалов
Теоретическая механика
Электротехника
Лабораторная работа
Изучение цепи переменного тока
Конспект лекций
Методы расчета и анализа
электрических цепей
Переходные процессы
Схемотехника
Графические и аналитические
методы расчета
Ядерная физика
Законы радиоактивного распада
Ядерная и нейтронная физика
Деление и синтез ядер
Курс лекций и задач по физике
Квантовая механика
Техническая термодинамика
Физика электромагнитных
взаимодействий
Энергетика
Атомная энергетика
Опыт эксплуатации реакторов на быстрых нейтронах
Принципы энергетической безопасности
Резервы урана
Программа развития ядерной энергетики
Программа развития АЭС до 2050 г
Гидроэлектростанции
Эволюция ядерных арсеналов
Ядерная индустрия
Реакторы на тепловых нейтрона
Крупные аварии на АЭС
Ядерно-энергетические комплексы
Атомная энергетика в мире
Перспективы развития атомной энергетики
Энергетическая  безопасность
Физические основы ядерной индустрии
Радиоактивность
Бета-излучение
Фотонное излучение
Гамма-излучение
Радиация проникающая
 

Дифференцируемость ФНП

Теорема о существовании всех частных производных ФНП

Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Интегрирование биноминальных дифференциалов Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Для функции  вычислить  и  и сравнить эти значения, если ; ; .

Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке

Дифференциалы высших порядков ФНП Пусть в области , , задана произвольная ФНП , , имеющая непрерывные частные производные первого порядка.

Для  вычислить  и , где  и , ,  – произвольные постоянные числа.

Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

Дифференцирование сложной ФНП Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Например, сложная функция , определенная на множестве , понимается как суперпозиция "внешней" функции  и "внутренних" функций , , определенных на множестве . При этом множество значений Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства.

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Диффенцирование неявно заданной функции Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП

Исследовать на локальный экстремум .

Абсолютный экстремум ФНП Допустимая точка  называется точкой абсолютного минимума (или максимума) ФНП ,  в задаче (*), если выполняется условие:    или  . Геометрический смысл метода Эйлера:

Интегрирование функций нескольких переменных ФНП   рассматривается на некотором множестве , , . Пусть  – ограниченное, связное и замкнутое множество точек из ; впредь для краткости такое множество  будем называть фигурой . Интеграл ФНП по фигуре  строится в зависимости от количества независимых переменных ФНП и структуры (вида) фигуры

Понятие интеграла ФНП Для построения интеграла ФНП  по фигуре , , используется следующая процедура построения интегральной суммы и переход к пределу

В зависимости от числа независимых переменных функции, размерности и меры фигуры интеграл  имеет различное представление, интерпретацию и способ счета.

Теорема необходимое условие существования определенного интеграла

Пусть , ,  – множество точек из , т.е. .

Построить схематично график функции  на множестве :

Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства этого множества.

Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции.

Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

Показать, что функция   непрерывна в точке   по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Пусть , , . Частные производные первого порядка функции  вводятся соответственно соотношениям

Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

Некоторые свойства интеграла ФНП

Геометрические свойства интеграла ФНП Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на .

Типовые задачи Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции. Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для определенного интеграла: .

Вычислить интеграл .

Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры в декартовых координатах Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Вычисление объема тела Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями   и  и ограниченного поверхностью  и плоскостью .

Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Вычисление криволинейных интегралов I рода Вычислить интеграл , если  , , .

Длина дуги в декартовых координатах Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Механические приложения Вычислить массу дуги   

Вычислить момент инерции относительно плоскости  дуги  , если плотность распределения массы в каждой точке дуги пропорциональна произведению

Вычислить повторный интеграл , восстановив область .

Вычислить повторный интеграл .

 

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида,

Решить ДУ . Пространство  имеет размерность , его "базис" состоит из  линейно независимых элементов из .

Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной системы функций

Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ  отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений ,  ОЛДУ.

Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение.

Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно

Решить 

СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

  Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.

Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ  

Сведение СДУ к одному ДУ

Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Метод интегрируемых комбинаций  – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые.

Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

Метод Эйлера

Решить СОЛДУ .

Решить СОЛДУ  .

Математика, физика, электротехника. Графика и анимация для Web-сайтов